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Unter dem Begriff ' Biomorph versteht man lebensähnliche Formen, die man durch ein bestimmtes Untersuchungsverfahren komplexer Funktionen erhält. Diese Formen ähneln sehr denen von Bakterien und Zellen. Der bekannte Forscher Pickover entdeckte die Biomorphe, welche die komplexe Ebene in den verschiedensten Varianten bevölkern, zufällig durch einen Fehler in einem Programm zur Untersuchung fraktaler Eigenschaften. Biomorphe entstehen durch wiederholtes Anwenden (Iterationen) einer komplexen Funktion, wobei in jedem Schritt die Funktion auf das Ergebnis des vorhergehenden verwendet wird: Zum Beispiel entsteht ein Biomorph durch wiederholtes Anwenden der Vorschrift Zn=F(Zn-1) F(Z)=Z^2. Wir beginnen mit einem Startwert Z0, quadrieren diesen und legen das Ergebnis in der Variable Z1 ab, quadrieren Z1 und legen das Ergebnis in der Variablen Z2 ab usw... Wir müssen dabei berücksichtigen, daß Z eine komplexe Zahl ist. Eine komplexe Zahl besteht aus zwei reellen Zahlen, dem Imaginärteil und dem Realteil. Sie wird durch den mathematischen Ausdruck A+B*i dargestellt, wobei A den Realteil repräsentiert und B den Imaginärteil, i ist die Quadratwurzel aus 1 oder, in anderen Worten, i^2=-1. Man kann sich gut eine komplexe Zahl als einen Punkt (A;B) in einer Ebene vorstellen. Beispiel: Die Zahl 6+3*i hat als Realteil den Wert 6, als Imaginärteil den Wert 3. Sie repräsentiert für uns den Punkt (3;1). Nun untersuchen wir die Funktion ZT2.:
Für Z^2 können wir auch schreiben: (A + B*i)T2. Wir lösen den Ausdruck mit Hilfe der binomischen Formeln auf und erhalten folgenden: A^2+2*A*B*i+(B*i)^2. Da i^2=-1, können wir auch schreiben: A^2-B^2+2*A*B*i Daraus folgt, daß ZT2 als Realteil den Wert A^2-B^2 hat, als Imaginärteil -2*A*B und den Punkt (A^2-B^2; -2AB) darstellt. Mit der Vorschrift in unserem Beispiel wird aus der komplexen Zahl Zn-1 =A+B*i die komplexe Zahl Zn = A^2-B^2-2*A*B*i. Um ein Biomorph zu generieren, müssen wir zunächst einmal jedem Bildschirmpixel einen Gitterpunkt der komplexen Zahlenebene zuordnen und zu diesem Gitterpunkt eine gewisse Anzahl von Iterationen durchführen. Der Startwert Z0 hat jeweils als Real- und Imaginärteil die Koordinaten des jeweiligen Gitterpunktes. Das Ergebnis (die komplexe Zahl Zn) der Iterationen bestimmt jeweils die Farbe des entsprechen den Bildschirmpixel. Man kann zum Beispiel den Pixel schwarz färben, wenn Real- oder Imaginärteil der Zahl Zn einen gewissen Wert (Unendlichkeitsgrenze) überschreitet. Mathematische Kenntnisse sind nicht unbedingt erforderlich Das Programm BIOMORPH fordert keine mathematischen Kenntnisse im Umgang mit komplexen Funktionen. Die interessantesten Funktionen sind schon fest eingespeichert. Tabelle zum Auflösen komplexer Funktionen in Imaginär- und Realteil. Es gilt Z=R+i*I >> Von ihnen kann man sich Biomorphe generieren lassen, von den generierten Bildern kann man sich Ausschnittsvergrößerungen anfertigen lassen. Zu jedem Bild kann man sich die passenden Farben einstellen. Zusätzlich enthält das Programm eine aufwendige Bilderverwaltung (nur bei Diskette). Das kurze Programm BIOEXP ist für die Leser gedacht, die auch andere komplexe Funktionen untersuchen wollen. Bei der Untersuchung einer komplexen Funktion muß man allerdings diese in Real- und Imaginärteil auflösen können. In der Tabelle wurden einige Funktionen in Real- und Imaginärteil aufgelöst. Bevor man die Funktion untersucht, muß man diese in der entsprechenden Form in das Programm einsetzen. Danach startet man das Programm und gibt die Parameter (zu untersuchender Imaginär- und Realteil, die Bildauflösung (normal: 320 Punkte in x-Richtung, 200 Punkte in y-Richtung), die Rechentiefe (Zahl der Iterationen pro Punkt) und die Unendlichkeitsgrenze (der absolute Wert von Real- und Imaginärteil, den die komplexe Zahl Zn nicht überschreiten darf) ein. Nach der Eingabe wird das Biomorph generiert und auf Diskette abgespeichert. Nach dem Start befindet man sich im Hauptmenü. Die Menüpunkte werden mit den Cursortasten selektiert, Copy ruft den jeweiligen Menüpunkt auf. Die Menüpunkte 1. SYSTEM EINSTELLEN Mit diesem Menüpunkt können Sie sich die Parameter (x- und y-Auflösung. Real- und Imaginärbereich, Unendlichkeitsgrenze, Rechentiefe, Bildname) ansehen und diese einzeln editieren. Außerdem wählen Sie mit diesem Menüpunkt die zu untersuchende Funktion. Am Anfang werden Ihnen die Parameter angezeigt: IMAG-Start und IMAG-Ende stehen für den zu untersuchenden Imaginärteil. Wenn Sie eine Funktion untersuchenden Realteil. Analog zum Imaginärteil empfehlen wir, zu Beginn große Intervalle einzustellen. X-AUFLÖSUNG steht für die Anzahl der Bildpunkte in x-Richtung (normal: 320 Bildpunkte für maximale Auflösung). Y-AUFLÖSUNG steht für die Anzahl der Bildpunkte in y-Richtung (normal: 200 Bildpunkte für maximale Auflösung). RECHENTIEFE ist ein Ausdruck für die Anzahl der Berechnungen, die pro Punkt durchgeführt werden. Je größer die Rechentiefe, desto länger dauert es, ein Bild zu generieren, und desto “mathematisch genauer“ wird das Bild. Der Wert 10 für die Rechentiefe ist erst einmal ideal! UNENDLICHKEITSGRENZE ist der Wert für Real- und Imaginärteil, der die Unendlichkeit repräsentiert. Hier sollte man auch den Wert 10 einstellen. Der BILDNAME darf maximal acht Zeichen lang sein. Unter diesem Namen wird das Bild auf Diskette abgespeichert. Sie können jeden dieser Parameter umändem. Wenn Sie einen Parameter nicht ändern wollen, drücken Sie nur die Enter-Taste, und der Wert des Parameters bleibt unverändert. Nach der Parametereditierung werden Ihnen alle Funktionen angezeigt, die Sie untersuchen können. Die invers angezeigte Funktion ist die Funktion, die untersucht wird. Sie können nun eine der angezeigten Funktionen auswählen. 2. Farben ändern Mit diesem Menüpunkt können Sie die Farben des Biomorph-Bildes setzen. Mit Pfeiltaste-hoch und -runter wählen sie den Stift, mit Pfeiltaste-rechts und Pfeiltaste-links die entsprechende Farbe. Mit I werden die Farben invertiert. Anwendern, die mit Farben nicht viel herumexperimentieren wollen, empfehlen wir je nach Monitor, nur die Tasten F (Farbe) beziehungsweise G (Grün) zu drücken. Mit der Copy-Taste kehren Sie wieder zurück in das Hauptmenü. 3. Biomorph generieren Nachdem Sie die Parameter (und eventuell die Farben) eingestellt haben, selektieren Sie diesen Punkt, um das Bio-morph-Bild generieren zu lassen. Es dauert zirka zwei bis vier Stunden (je nachdem, wie komplex die zu untersuchende Funktion ist), bis ein Bild generiert worden ist. Mit A (Abbruch) können Sie die Berechnung abbrechen und das bis zu dem Zeitpunkt generierte Bild abspeichern. (Sie kehren mit A automatisch zurück in das Haupjmenü.) Um das Bild abzuspeichern, rufen Sie den Menüpunkt BIOMORPH ABSPEICHERN auf. Wenn Sie dann später einmal das Bild zu Ende generieren lassen wollen, laden Sie das Bild (BIOMORPH LADEN), und rufen Sie wieder die Funktion BIOMORPH GENERIEREN auf. 4. Biomorph abspeichern Mit diesem Menüpunkt speichern Sie das Biomorph-Bild auf Diskette ab. Es werden zwei Files auf Diskette abgespeichert: “NAME“.SCN ist das eigentliche Bild, welches Sie ohne Probleme mit einem Malprogram nachbearbeiten können. “NAME“ ist eine kurze Datei, in der die Parameter, der Name der Funktion, die untersucht wurde, und die Farben abgespeichert sind. Das Abspeichern auf Kassette ist problemlos, wenn vor dem Dateinamen ein Ausrufezeichen (!) gesetzt wird. Das bedeutet, daß das Bild sofort abgespeichert wird, ohne daß eine Meldung auf dem Bildschirm erscheint! 5. Biomorph laden Dieser Menüpunkt ist zu benutzen, um Biomorph-Bilder von Diskette zu laden. Zunächst erscheint ein Inhaltsverzeichnis von den Bildern, die sich auf der Diskette befinden. Sie werden danach aufgefordert, den Namen des Bildes, welches geladen werden soll, einzugeben. Mit Ctrl-L wechseln Sie das Laufwerk, mit Enter kehren Sie wieder zurück in das Hauptmenü. 6. Disketteninhaltsverzeichnis Wählen Sie diesen Menüpunkt, um sich den Disketteninhalt anzeigen zu lassen. Mit Ctrl-L wechseln Sie das Laufwerk. 7. Biomorph ansehen Das generierte Biomorph-Bild wird gezeigt. Falls Sie einen Ausschnitt von diesem Bild definiert haben (mit Hilfe des Menüpunktes AUSSCHNITTS-VERGRÖSSERUNG), können Sie sich diesen ebenfalls mit der Taste A anzeigen lassen. 8. Ausschnitts Vergrößerung Um eine Ausschnittvergrößerung von einem Biomorph-Bild anzufertigen, wählen Sie zunächst diesen Menüpunkt. Das Bild wird angezeigt, und in der linken unteren Ecke können Sie ein Fadenkreuz sehen. Dieses bewegen Sie mit Hilfe der Cursortasten zum unteren linken Eckpunkt des Ausschnitts, den Sie vergrößert haben möchten. Drücken Sie Copy, und bewegen Sie dann das Fadenkreuz zum rechten oberen Eckpunkt. Drücken Sie wieder Copy, und der von Ihnen definierte Ausschnitt wird angezeigt. Sie kehren dann zurück zum Hauptmenü. Wählen Sie nun den Menüpunkt BIOMORPH GENERIEREN, um die AuschnittVergrößerung zu starten. Hinweis: Das im Listing vorkommende Zeichen (t) ist der senkrechte Pfeil, neben der CLR-Taste.
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