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Fractals sind das Ergebnis von Rechenprozessen. Unsere Fractals in den folgenden Listings entstehen durch Iteration. Fraktale sind bunte, chaotisch-bizarre Formen, die nicht zuletzt wegen ihrer Schönheit oft mit Kunst in Verbindung gebracht werden. Die eigentlich sehr nüchterne Mathematik, die sie hervorzaubert, soll im folgenden wenigstens andeutungsweise besprochen werden. Ein Fraktal, wie Sie es mit diesem Programm erstellen können, veranschaulicht das Verhalten von Zahlenpaaren bei einem bestimmten Rechenprozeß, der Iteration. Iterie-ren bedeutet nichts anderes, als einen Rechenausdruck immer wieder mit seinem eigenen, vorher berechneten Ergebnis zu füttern. Als besonders interessant hat sich die Iteration Xneu = (Xalt)2+ c erwiesen. Die Zahl der notwendigen Iterationsschritte, d.h., wie oft man das neue Ergebnis wieder als Eingabe verwenden muß, um in Xneu einen bestimmten Wert zu erreichen (z. B. 10), ist chaotischen Schwankungen unterworfen, sofern man die Konstante c aus einem geeigneten Bereich wählt. Es kann aber auch Vorkommen, daß dieser Wert selbst nach sehr vielen Iterationsschritten noch nicht erreicht wurde. Deshalb ist es notwendig, eine maximale Anzahl an Schritten anzugeben, bei deren Erreichen die Suche aufgegeben wird. Diese Anzahl heißt maximale Untersuchungstiefe. Die Aufgabe des Computers besteht nun darin, solche interessanten Zahlenpaare durchzurechnen. Der Punkt, dessen Koordinaten durch ein solches Zahlenpaar gegeben sind, muß mit einer Farbe auf den Bildschirm ausgegeben werden, die der Zahl der notwendigen Iterationsschritte entspricht. Weil nun aber im Mode 1 nur drei Farben und der Hintergrund zur Verfügung stehen, wiederholen sich diese drei Farben sequentiell. Nicht angezeigt wird der Punkt, wenn mit der maximalen Untersuchungstiefe der für Xneu geforderte Wert (im Programm 10) noch nicht erreicht wurde. Vielleicht ahnen Sie schon, daß das Problem im enormen Rechenaufwand liegt. Für jeden der 40.000 bzw. 10.000 Bildschirmpunkte muß ein Iterationsprozeß durchgeführt werden, dessen Schrittzahl zwar beschränkbar, aber nicht absehbar ist. Selbst Maschinenprogramme haben hier ihre Schwierigkeiten. Bei so viel Aufwand um ein Chaos fragen Sie sich vielleicht, warum man nicht gleich den Random-Generator einsetzt, derfür Zufälle doch immer gut ist. Nun, das Ergebnis wäre äußerst kläglich, ein bunter, undefinierbarer Brei. So seltsam es auch klingen mag: Dieses Chaos ist kein Zufall. Der Eindruck kann aber entstehen, weil bei solchen Vorgängen winzige Änderungen des Ausgangspunktes immense Verschiebungen im Ergebnis zur Folge haben. Doch nun zum Programm. "Fractals” besteht aus einem MC-Teil (DATA-Zeilen), der die zeitraubende Berechnung übernimmt, und aus einem Basic-Teil. Er befaßt sich im wesentlichen mit der Eingabe, der Menüsteuerung und der Initialisierung des MC-Teils. Das abgedruckte Usting ist einzugeben und mit RUN zu starten. Bricht die Initialisierung mit der Fehlermeldung Error... ab, dann stimmt die Prüfsumme der angegebenen DATA-Zeile nicht. Sie ist zu verbessern und das Programm erneut mit RUN zu starten. Nach erfolgreichem Abschluß der Initialisierung, erscheint das Hauptmenü. Um das Programm aufzuzeichnen, wählt man ABBRUCH und gibt SAVE "Fractals” ein. Nun gelangt man, wie in den meisten anderen Fällen auch, mit GOTO 90 wieder ins Programm. Folgende Menüpunktè können gewählt werden: Neues Fraktal numerisch Ein eventuell schon im Speicher befindliches Fraktal wird gelöscht und die Eingabe des neuen, zu untersuchenden Bereichs gefordert (vier Werte, z.B. -0.6, 2.1, -1.2,0). Danach muß die maximale Untersuchungstiefe angegeben werden, also die Zahl der Iterationsschritte, bei der die Suche nach einem Farbwert für den aktuellen Punkt abgebrochen wird und er somit schwarz bleibt. Offensichtlich ist diese Zahl ein bedeutender Faktor für die Rechendauer, die bei größerer Tiefe entscheidend zunimmt. Auch für die Dichte des Fraktals ist sie maßgebend. So entlarvt eine größere Tiefe auch Punkte, die sonst möglicherweise schwarz geblieben wären. Nach mehreren eigenen Versuchen lernt man den Umgang mit dieser Zahl recht schnell. Außer der max. Untersuchungstiefe muß noch das gewünschte Format angegeben werden. Format 1 (¼ des verfügbaren Bildschirms) erlaubt zwar nur einen groben Überblick, nimmt aber dafür nur ¼ der Rechenzeit des Großformats in Anspruch. Die Fraktalberechnung kann mit Doppel-Break unterbrochen werden. Die Farben lassen sich mit der Taste N zurücksetzen; bei Druck auf J erscheinen sie wieder. Dies soll die Leuchtschicht des Monitors schonen. Mit der Taste A läßt sich die Anzeige der Tiefe anfordern, bis zu der gerechnet werden mußte, um die Farbe des letzten Punktes zu ermitteln. Nochmaliges Drücken von A löscht sie wieder. Wegen der langsamen systeminternen PRINT-Routine bringt der Verzicht auf eine dauernde Anzeige Geschwindigkeitsvorteile. Neues Fraktal grafisch Vorbedingung ist hier, daß ein (nicht unbedingt fertiges) Fraktal bereits im Speicher steht. Diese Option erleichtert Ihre persönliche Entdeckungsreise in die Welt der Fraktale. Nun müssen keine Zahlen mehr eingegeben werden, sondern man kann frei mit den Cursor-Tasten den Bereich abgrenzen, der vergrößert werden soll. Die vier Tasten sind für die entsprechenden vier Linien zuständig. Mit SHIFT+ Cursor-Taste bewegt man die Grenzen in entgegengesetzter Richtung. Die Schrittweite, mit der sich die Begrenzungslinien bewegen sollen, können Sie mit den entsprechenden Ziffern-Tasten festlegen (Anfangswert = 4). Der aktuelle Bereich, den das Fenster umrahmt, wird rechts noch einmal numerisch angezeigt. Berechnung fortsetzen Diese Option bietet Ihnen die Möglichkeit, die Berechnung nach einer Unterbrechung mit ESC oder nach Laden eines noch unvollständigen Fraktals von Cassette oder Diskette weiterzuführen. Inks ändern Hier kann man aus den 26 möglichen Farben die Palette auswählen, die das Fraktal am besten wiedergibt. Die Tasten sind folgendermaßen belegt: Cursor links/rechts - Farbe für den Stift wählen Cursor oben/unten - Farbstift wählen Dieser Programmteil kann nicht verlassen werden, wenn Farbe 0 und Farbe 1 übereinstimmen; die Schrift wäre dann unsichtbar. Fraktal laden Ein eventuell noch im Speicher befindliches Fraktal wird gelöscht und das mit dem angegebenen Namen geladen. Danach kann die Berechnung fortgesetzt werden, die Inks lassen sich ändern usw. Fraktal aufzeichnen Vorbedingung ist das unter der Option "Neues Fraktal grafisch” Gesagte. Die Länge des Namens darf 13 Zeichen nicht überschreiten. Abbruch Das Programm stellt seine Arbeit ein. Nun kann es z.B. gelistet oder gespeichert werden. Sind die Windows nicht durch ein MODE-Kommando zerstört, läßt es sich in den meisten Fällen mit GOTO 90 wieder starten. Sobald ein Fraktal beendet ist, meldet sich der Rechner mit Piepstönen. Ein Tastendruck führt zurück ins Menü. Das sogenannte Urfraktal hat die Koordinaten -0.6, 2.1, -1.2, 1.2; als maximale Berechnungstiefe ist 50 ausreichend. Sie sollten es berechnen lassen und aufzeichnen. Später kann ihnen dieses Fraktal als Übersichtsplan dienen, und mit dem komfortablen grafischen Verfahren lassen sich Bereiche vergrößern und erforschen. Interessant sind hier die Übergänge von farbigen zu schwarzen Zonen und Bereiche, in denen es mit den Farben drunter und drüber geht. Nun aber noch zwei Beispiele (natürlich numerisch einzugeben):-0.3278, -0.3238, 0.034, 0.037 (max. Tiefe = 50) und 0.745,0.7455, -0.1132, -0.1128 (max. Tiefe = 200).
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